Brahmaguptas formel

Brahmaguptas formel beskriver ett samband mellan arean för en godtycklig cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan skrivas in i en cirkel) och dess sidor. Formeln formulerades ursprungligen av den indiska matematikern Brahmagupta under 600-talet, dock utan bevis. Formeln har sedan bevisats på flera olika sätt av olika matematiker.

Formel

Brahmaguptas formel för en cyklisk fyrhörning med arean A och sidorna a, b, c, d skrivs vanligen

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

där

$s\equiv {\frac {a+b+c+d}{2}}$

är semiperimetern (halva omkretsen).

Formeln kan dock skrivas utan semiperimetern på ekvivalent form

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.$

Vilket även kan skrivas

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}.$

Ett liknande samband existerar för en godtycklig triangel (alla trianglar är cykliska) som kallas Herons formel. Genom att låta en av sidorna i en fyrhörning vara noll bildas en triangel. Sätts en av sidorna till noll i Brahmaguptas formel erhålls Herons formel. Brahmaguptas formel kan ses som en generalisering av Herons formel.

Bevis

Bevis med trigonometriska samband

En cyklisk fyrhörning inskriven i en cirkel med beteckningar för hörn, sidor och vinklar

I beviset används beteckningar från figuren till höger.

Den cykliska fyrhörningen ABCD kan delas upp i två trianglar, ABD och BDC, vars areor enligt areasatsen ges av

$Area_{ABD}={\frac {1}{2}}bc\sin {\alpha }$

$Area_{BDC}={\frac {1}{2}}ad\sin {\gamma }$

Alltså ges den cykliska fyrhörningens area, A, av

$A={\frac {1}{2}}ad\sin {\gamma }+{\frac {1}{2}}bc\sin {\alpha }$

Eftersom fyrhörningen är cyklisk gäller $\alpha +\gamma =\pi \Leftrightarrow \gamma =\pi -\alpha$, vilket enligt en trigonometrisk identitet medför att $\sin \alpha =\sin \gamma$. Alltså gäller

$A={\frac {1}{2}}ad\sin {\alpha }+{\frac {1}{2}}bc\sin {\alpha }={\frac {1}{2}}(ad+bc)\sin {\alpha }$

Kvadrering av båda led ger

$A^{2}={\frac {1}{4}}(ad+bc)^{2}\sin ^{2}{\alpha }$

Detta kan med hjälp av trigonometriska ettan skrivas

$4A^{2}=(ad+bc)^{2}(1-\cos ^{2}{\alpha })=(ad+bc)^{2}-(ad+bc)^{2}\cos ^{2}{\alpha }\quad (*)$

Trianglarna ABD och BDC har en gemensam sida DB. Enligt cosinussatsen gäller

$DB^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }$

$DB^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos {\gamma }$

Dessa likheter ger sambandet

$b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }=a^{2}+d^{2}-2ad\cos {\gamma }.$

Eftersom $\gamma =\pi -\alpha$ gäller enligt en trigonometrisk identitet att $\cos {\gamma }=-\cos {\alpha }$, vilket ger sambandet

$b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }=a^{2}+d^{2}+2ad\cos {\alpha }$

Vilket kan skrivas som

$2ad\cos {\alpha }+2bc\cos {\alpha }=b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}$

Faktorisering i vänsterledet ger

$2(ad+bc)\cos {\alpha }=b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}$

Kvadrering av båda led följt av division med 4 ger

$(ad+bc)^{2}\cos ^{2}{\alpha }={\frac {1}{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}$

Ovanstående samband insatt i $(*)$ ger

$4A^{2}=(ad+bc)^{2}-{\frac {1}{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}$

Multiplikation med 4 ger

$16A^{2}=4(ad+bc)^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}$

Högerledet kan med hjälp av konjugatregeln skrivas

$16A^{2}=\left(2(ad+bc)-b^{2}-c^{2}+a^{2}+d^{2}\right)\!\left(2(ad+bc)+b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}\right)$

Utveckling av de inre parenteserna ger

$16A^{2}=\left(a^{2}+2ad+d^{2}-(b^{2}-2bc+c^{2})\right)\!\left(b^{2}+2bc+c^{2}-(a^{2}-2ad+d^{2})\right)$

Vilken enligt kvadreringsregler kan skrivas

$16A^{2}=\left((a+d)^{2}-(b-c)^{2}\right)\left((b+c)^{2}-(a-d)^{2}\right)$

Vilket enligt konjugatregeln kan skrivas

$16A^{2}=(a+c+d-b)(a+b+d-c)(b+c+d-a)(a+b+c-d)$

Genom att subtrahera och addera termen med negativt tecken i varje faktor i högerledet fås

$16A^{2}=(a+b+c+d-2b)(a+b+c+d-2c)(a+b+c+d-2a)(a+b+c+d-2d)$

Genom att bryta ut 2 ur varje faktor i högerledet fås

$16A^{2}=16\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-b\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-c\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-a\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-d\right)$

Division med 16 ger

$A^{2}=\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-b\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-c\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-a\right)\left({\frac {a+b+c+d}{2}}-d\right)$

Introduceras nu semiperimetern, $s\equiv (a+b+c+d)/2$, erhålls

$A^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$

Roten ur ger slutligen

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

V.S.B.

Bevis utan trigonometriska samband

Formeln kan bevisas utan trigonometriska samband med hjälp av Herons formel och uppdelning i trianglar.

Generalisering

Brahmaguptas formel kan generaliseras till att gälla även för konvexa icke-cykliska fyrhörningar enligt

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

där $\alpha$ och $\gamma$ är motstående vinklar. Denna formel kallas Bretschneiders formel och Brahmaguptas formel är specialfallet för cykliska fyrhörningar vilket ger $\alpha +\gamma =\pi$ som innebär att cosinustermen blir noll.

Se även

• Herons formel för arean av en triangel, specialfallet då en av sidorna är noll.
• Bretschneiders formel för arean av en godtycklig konvex fyrhörning.